密码学常用工具

引自crypto常用工具 | Lazzaro (lazzzaro.github.io)

1.gmpy2

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from gmpy2 import *

mpz(n)	#初始化一个大整数
mpfr(x)	# 初始化一个高精度浮点数x
d = invert(e,n) 	# 求逆元，de = 1 mod n
c = powmod(m,e,n)	# 幂取模，结果是 c = m^e mod n
is_prime(n)	 #素性检测
gcd(a,b)  	#欧几里得算法，最大公约数
gcdext(a,b)  	#扩展欧几里得算法
iroot(x,n) 	#x开n次根

2.sympy

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from sympy import *

prime(n)  #第n个素数
isprime(n)  #素性检测
primepi(n)  #小于n的素数的总数
nextprime(n)  #下一个素数
prevprime(n)  #上一个素数
nthroot_mod(c,e,p,all_roots=True)  #有限域开方

3.Sage

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R.<X> = PolynomialRing(Zmod(n))
#Zmod(n):指定模，定义界限为n的环；Z表示整数；指定模是划定这个环的界限，就是有效的数字只有从0到n，其他的都通过与n取模来保证在0～n这个范围内；Zmod代表这是一个整数域中的n模环
#ZZ：整数环；QQ：有理数环；RR：实数环；CC：复数环
#R：只是一个指针，指向用polynomialring指定的那个环（可以使用任意字符）
#PolynomialRing：这个就是说建立多项式环
#.<X>：指定一个变量的意思（可以用任意字符）

4.数论

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prime_pi(n)  #小于等于n的素数个数
divisors(n)  #n的因子
number_of_divisors(n)  #n的因子数
factor(n)  #n的因式分解
euler_phi(n)  #n的欧拉函数值
two_squares(n)   #n的两数平方组合
three_squares(n)  #n的三数平方组合
four_squares(n)  #n的四数平方组合

5.多项式

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f.subs({x:x1}) #把x1值代入x
f.univariate_polynomial() #映射为单变量多项式
f.univariate_polynomial().roots() #单变量多项式求根
f.coefficients() #多项式系数列表
f.list() #多项式系数
f.monic() #首一多项式

#因式分解（单元）
x = PolynomialRing(RationalField(), 'x').gen()
f = (x^3 - 1)^2-(x^2-1)^2
f.factor()

#因式分解（二元）
x, y = PolynomialRing(RationalField(), 2, ['x','y']).gens()
f =  (9*y^6 - 9*x^2*y^5 - 18*x^3*y^4 - 9*x^5*y^4 + 9*x^6*y^2 + 9*x^7*y^3 + 18*x^8*y^2 - 9*x^11)
f.factor()

#GCD（单元）
x = PolynomialRing(RationalField(), 'x').gen()
f = 3*x^3 + x
g = 9*x*(x+1)
f.gcd(g)

#GCD（多元）
R.<x,y,z> = PolynomialRing(RationalField(), order='lex')
f = 3*x^2*(x+y)
g = 9*x*(y^2 - x^2)
f.gcd(g)

#多项式/整数转换
PR = PolynomialRing(GF(2),'x')
R.<x> = GF(2^2049)
pc = R.fetch_int(xx) #整数转多项式
xx = R(PR(pc)).integer_representation() #多项式转整数

6.矩阵

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A = matrix(ZZ, [[1,1],[0,4]])
A.nrows() #行数
A.ncols() #列数
A.transpose() #转置
A.inverse() 或 A^(-1) #逆
A.rank() #秩
A.det() #行列式
A.stack(vector([1,2])) #矩阵后添加一行
A.insert_row(1, vector([1,2])) #在第一行插入
A.change_ring(QQ) #更换环为QQ
A.solve_left(B) 或 A/B #求解XA=B
A.solve_right(B) 或 A\B #求解AX=B
A.left_kernel() #求解XA=0，线性相关的行向量
A.right_kernel() #求解AX=0，线性相关的行向量
A.LLL() #最短正交基
A.multiplicative_order() #乘法阶

zero_matrix(2,3) #2*3零矩阵
identity_matrix(2,3) #2*3单位阵
block_matrix(QQ,[[A,zero_matrix(n,1)],[matrix(b),matrix([1e-16])]]) #矩阵拼接

7.解方程

x+y=10

xy=21

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var('x y')
solve([x+y==10,x*y==21],[x,y])

8.解线性方程组

AX=B

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A = Matrix([[1,2,3],[3,2,1],[1,1,1]]) 
Y = vector([0,-4,-1]) 
X = A.solve_right(Y)
#或
A \ Y
#反斜杠 \ 可以代替 solve_right; 用 A \ Y 代替 A.solve right(Y).

9.中国剩余定理

x≡2(mod3)

x≡3(mod5)

x≡2(mod7)

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crt([2,3,2],[3,5,7])

#仅适用模两两互素
def chinese_remainder(modulus, remainders):
    Sum = 0
    prod = reduce(lambda a, b: a*b, modulus)
    for m_i, r_i in zip(modulus, remainders):
        p = prod // m_i
        Sum += r_i * (inverse_mod(p,m_i)*p)
    return Sum % prod
chinese_remainder([3,5,7],[2,3,2]) #23

10.离散对数

a ** x ≡ b (mod n)

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#n为合数（Pohlig-Hellman）
x = discrete_log(mod(b,n),mod(a,n)) 

#n为质数或质数幂（线性筛Index Calculus）
R = Integers(99)
a = R(4)
b = a^9
b.log(a)

x = int(pari(f"znlog({int(b)},Mod({int(a)},{int(n)}))"))
x = gp.znlog(b, gp.Mod(a, n))

11.整数域椭圆曲线

y ** 2=x ** 3+a * x+ b (mod n)

输出所有整数点

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#素数域
F = GF(7)
#素数域的阶
print(F.order())
#椭圆曲线E7(2,3)
E = EllipticCurve(F,[0,0,0,2,3])
#基点坐标
G = E.gens()[0]
#阶（不同的离散的点个数）
q = E.order()
#所有的点
allPoints = E.points()
#创建点
P = E(2,1)
#点的xy坐标值
P.xy()

G = E.lift_x(ZZ(getPrime(64)))  
#随机生成64位整数的x坐标的点  y = G.xy()[1]

12.解模方程

a * x ** 2+b * x + c ≡ d (mod p)

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P.<x> = PolynomialRing(Zmod(p))
f = a * x^2 + b * x + c - d
x = f.monic().roots()
print(x)

13.解方程组

N=pq

φ=(p−1)(q−1)

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P.<p, q> = PolynomialRing(ZZ)
def solve(f1, f2):
	g = f1.resultant(f2, q)
	roots = g.univariate_polynomial().roots()
	if len(roots) == 0:
		return False
	p_ = abs(roots[0][0])
	q_ = abs(roots[1][0])
	return (min(p_, q_), max(p_, q_))

N = 
phi = 
f1 = (N + 1) - phi - p - q
f2 = N - p*q
p, q = solve(f1, f2)
(p, q)

14.结式

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from sage.matrix.matrix2 import Matrix
def resultant(f1, f2, var):
    return Matrix.determinant(f1.sylvester_matrix(f2, var))

n = 
P.<k,t2,t3,d> = PolynomialRing(Integers(n))
f1 = s1*k - h - r*d
f2 = s2*(k+t2) - h - r*d
f3 = s3*(k+t3) - h - r*d
h1 = resultant(f1, f2, d)
h2 = resultant(f1, f3, d)
g1 = resultant(h1, h2, k)
roots = g1.univariate_polynomial().roots()