数论基础

模运算规则:

模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下:

  • (a + b) % p = (a % p + b % p) % p

  • (a - b) % p = (a % p - b % p) % p

  • (a * b) % p = (a % p * b % p) % p

  • (a ^ b) % p = ((a % p)^b) % p

    结合律：

  • ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p

  • ((a*b) % p * c)% p = (a (bc)%p) % p

    交换律：

  • (a + b) % p = (b+a) % p

  • (a * b) % p = (b * a) % p

    分配律：

  • ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) %p + (b * c) % p) % p

    重要定理：

  • 若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)

  • 若a≡b (% p)，则对于任意的正整数c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)

  • 若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，
    (a * c) ≡ (b * d) (%p)

同余：

两个整数a、b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a与b对于模m同余或a同余于b模m。 记作：a≡b (mod m)， 读作：a同余于b模m，或读作a与b对模m同余，例如26≡2(mod 12)。

逆元：

a * b ≡ 1 (mod p ) 称b为a模p的乘法逆元。